Contenido
Antecedentes
Marco Teórico
Definición de una integral matemática
Tipos de integrales
Integrales indefinidas
Integral Definida
Integral Impropia
Aplicaciones de la
Integral
Áreas Planas
Ejercicio 1.1
Ejercicio 1.2
Ejercicio 1.3
Ejercicio 1.4
Ejercicio 1.5
Ejercicio 1.6
Volúmenes
Fórmula del volumen con integrales definidas
Fórmulas de Integrales Definidas Volúmenes
Ejercicio 2.1 Segmento de Recta Limitado
Ejercicio 2.2
Ejercicio 2.3 Giro de una sección de área limitado por
una parábola y una recta.
Ejercicio 2.4
Integrales Dobles
Propiedades de la integral doble.
Calcular la siguiente integral doble
Ejercicio 3.1
Conclusiones
Bibliografía
ANEXO
TABLAS DE DERIVADAS E INTEGRALES
TABLAS DE DERIVADAS E INTEGRALES
Introducción
El cálculo proporciona una herramienta fundamental y única para expresar las leyes físicas en el lenguaje matemático y se aprecia su gran alcance en campos tales como la Química, la Biología, la Física, la Economía y otras ramas de la ciencia. La importancia del cálculo es inimaginable y es un requisito fundamental para estudios superiores.
Antecedentes
El origen del cálculo integral se remonta a la época de
Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo
resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento
parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros
problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El
descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow,
Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida,
a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez
conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo
de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.
El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo
en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático,
creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos
de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la
fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula
extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones,
utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias
finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de
funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor,
desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la
época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se
resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la
transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series
de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son
los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La
acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual
Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio
de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral
en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas
consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida
alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos
especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de
resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y
beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el
Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la
teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas
del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para
Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como
definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de
funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la
dominante.
El Cálculo Integral incluía además de la integración de
funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el
cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación
general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y
1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un
método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación
entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se
denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era
la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos
de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más
amplia posible.
Los logros principales en la construcción del Cálculo
Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo
aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta
sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía
constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo
Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de
Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión
concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos
actuales.
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que
significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad
de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en
tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés,
constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Marco Teórico
La integración es un concepto clave en matemáticas,
física, química, ingeniería y en muchas áreas del conocimiento.
El cálculo integral es el proceso inverso de la derivada.
Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce se conoce su
derivada esto se conoce como integrar y
la función a determinar se llama anti-derivada o integral de una función dada.
Sabemos calcular integrales, sin imaginar la utilidad que
éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método práctico
para poder determinar áreas, volúmenes, longitudes, etc. En comparación con los
procesos tradicionales que utilizaban los griegos. En física, su empleo es
constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad, también en
Química teórica y Biología.
Definición de una integral matemática
En términos matemáticos, se refiere la integración que es
a un concepto primitivo del cálculo para el análisis matemático. En resumen,
una integral se trata de una forma general de la suma de infinitos
sumandos en partes muy pequeños, es decir, es una suma continua. Una
característica fundamental de su definición es que es la operación contraria a
la derivada de una función. Estos cálculos se pueden llevar a cabo mediante
programas de computadora.
Tipos de integrales
Existen distintos tipos de integrales, cada integral con
características y conceptos específicos, e influyen en sus usos y aplicaciones.
En la siguiente figura se muestras algunos tipos de integrales.
Integrales indefinidas
Las integrales indefinidas corresponden al conjunto de
funciones primitivas de una función, el cual no es más que la suma entre
las primitivas y la constante de integración.
Al calcular una integral indefinida se agrega una
constante de integración, representada por la letra C, esto expresa
matemáticamente que la función tiene infinitas primitivas diferentes. Esto es
debido a que la derivada de una constante es igual a cero, lo que quiere
decir que son infinitas las constantes que pueden acompañar a la primitiva de
una función, obtenida por medio de la integración indefinida, formando así
tantas funciones como constantes existan, es decir, infinitas.
Además, el cálculo de las integrales indefinidas
representa un método sencillo para el cálculo de integrales definidas de una
gran cantidad de funciones.
Integral Definida
Las integrales definidas son calculadas en un
intervalo específico de una función. Una integral definida permite calcular el
área bajo la curva de una función
graficada en un plano cartesiano.
Integral Impropia
La integral impropia está relacionada con las integrales definidas,
pues esta corresponde al límite de estas integrales cuando alguno de los
extremos del intervalo o ambos se acerca al infinito positivo o negativo, o
cuando tienden a algún número que no está dentro del dominio del intervalo.
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